Лекция

Тема: «Системы счисления»

План

1. Системы счисления

2. Виды систем счисления

3. Позиционные системы счисления

4. Десятичная система счисления

5. Двоичная система счисления

6. Восьмеричная система счисления

7. Шестнадцатеричная система счисления

1. Системы счисления

Системы счисления – это набор специальных символов, применяемых для отображения числовых значений.

На заре зарождения человеческого общества понятия счёта практически не существовало. Люди могли отличить два предмета от трёх, но всё что было больше этого скрывалось за термином «много». Как правило, при подсчёте чего-либо количество предметов соотносилось с количеством пальцев на конечностях.

Постепенный прогресс нашего общества сделал счёт насущной потребностью. Сначала изображение натуральных чисел сводилось к написанию чёрточек, но впоследствии для этих целей начали применяться буквенные обозначения и символы.

В Древнем Риме зародилась методика, которая известна и сегодня как римская система нумерации. В ней числовые значения представляются буквами латинского алфавита. Сегодня её используют для нумерации глав в книгах и тому подобного. Вот список римских цифр: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000. В римской системе нумерации прослеживаются отголоски пятеричной системы счисления. Арифметические операции над большими числами в римской системе достаточно трудоёмки, но она применялась в Италии вплоть до тринадцатого века, а в некоторых европейских государствах аж до шестнадцатого века.

Славяне для обозначения чисел применяли весь алфавит, но с незначительными отклонениями от порядка следования букв в алфавите. Разные буквы обозначали разное число единиц, десятков и сотен. Такая система имела две существенные проблемы, которые и вызвали отказ от неё. Это слишком большое количество разных знаков, в частности для отображения большого числа, и, что ещё хуже, очень было неудобно выполнять арифметические операции.

Наиболее совершенной и доступной стала общеизвестная сегодня десятичная система счисления, которая зародилась в Индии, усовершенствована арабами и уже потом появилась в европейских странах. В качестве основания десятичной системы выбрано число десять. Конечно, существуют системы счисления, имеющие различные основания.

Жители древнего Вавилона применяли шестидесятеричную систему счисления. Её отголоски видны и в наше время, поскольку мы и сегодня считаем, что в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд.

В древние времена люди так же пользовались двенадцатеричной системой. Сегодня от неё осталась широко известная «дюжина», то есть число двенадцать. Ещё существует обычай подсчитывать количество некоторых предметов не числом десятков, а числом дюжин, к примеру, это столовые приборы.

2. Виды систем счисления

Разнообразные системы счисления, существовавшие ранее и применяемые сегодня, можно подразделить на позиционные и непозиционные.

Обозначения, которые используются для представления чисел, мы называем цифрами.

При использовании непозиционной системы счисления, фактический вес цифры в обозначении числа не связаны с её расположением. В качестве примера непозиционной системы можно привести римскую систему счисления, использующую латинские символы для кодирования цифровых значений.

Для позиционной системы счисления характерна зависимость цифрового значения в обозначении числа от занимаемой цифрой позиции.

Количество применяемых цифр в конкретной системе счисления называется основанием.

Все цифры в числе располагаются на определённом месте, которое называется позиция.

Отличия позиционной и непозиционной систем счисления можно увидеть в конкретном сравнении двух чисел. Для сравнения двух чисел в позиционной системе счисления нужно сравнивать в выбранных числах цифры слева направо, которые расположены на одной позиции. Если цифра больше, то и значение числа больше. К примеру, в числах 123 и 234, цифра один меньше цифры два, значит число 123 меньше числа 234.

Для непозиционных систем счисления такой закон не работает. К примеру, сравним два числа в римской системе счисления IX и VI. Видим, что I меньше, чем V, но при этом число IX больше числа VI.

3. Позиционные системы счисления

Чтобы обозначить основание системы счисления, в которой представлено число, используют специальный нижний индекс. К примеру, – цифра семь внизу означает, что это число представлено в семеричной системе счисления. Когда используется десятичная система счисления, то указывать основание нет необходимости.

В электронных вычислительных машинах могут использоваться системы счисления, имеющие основания два, восемь и шестнадцать. В общем случае, эти системы счисления могут полностью удовлетворить потребности как людей, так и компьютеров. Но бывают обстоятельства, когда возникает необходимость обращения к иным системам. Это могут быть троичная, семеричная и даже система с основанием тридцать два.

Для работы с числами, которые представлены в этих непопулярных системах, необходимо помнить, что в принципе они не имеют отличий от общеизвестной десятичной. Все арифметические операции выполняются по аналогичной процедуре. Так по какой причине не используются иные системы счисления? Основной причиной является то, что в обычной жизни человек привыкает к использованию десятичной системы счисления, и ему не нужна другая. В компьютерной технике применяется двоичная система, поскольку в ней проще выполняются все операции.

Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры, 0 и 1.

Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: 2₈; 10₂; 24А₁₆ и т.д.

123₁₀ — это число 123 в десятичной системе счисления;

173₈ 173₈ — то же число в восьмеричной системе счисления;

1111011₂1111011₂  — то же число, но в двоичной системе счисления.

Вспомним, любое число десятичной системы можно представить в виде следующей суммы на примере числа 123:

123₁₀ = 1*10² + 2*10¹ + 3*10⁰ = 123₁₀

Аналогично, любое число в другой системе счисления можно представить в виде таких сумм:

178₈ = 1*8² + 7*8¹ + 8*8⁰ = 123₁₀

1111011₂ = 1*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2⁰+ 1*2¹ + 1*1⁰ = 123₁₀

4. Десятичная система счисления

Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10² + 0*10¹ + 3*10⁰ = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503₁₀.

Одна и та же цифра в позиционной системе счисления имеет разное значение в зависимости от того, где эта цифра находится в числе.

Например, число 175.3₁₀ в десятичной системе счисления содержит в себе четыре цифры - 1, 7, 5 и 3. В этом числе 3 - это десятые доли, 5 - это количество единиц, 7 - это количество десятков, а 1 - это количество сотен. Если перед единицей дописать ещё цифру, то это будут уже тысячи.

Значение, которое добавляет цифра в десятичной системе счисления во всё число, определяется по формуле: 10^{позиция}. Позиции нумеруются, начиная с нуля, причём цифра, стоящая непосредственно перед десятичной точкой, всегда считается нулевой позицией. Влево номер позиции увеличивается, а вправо - уменьшается.

Перемножив и сложив, мы получим, собственно само число:

1*100+7*10+5+3/10=175.3₁₀.

Эта формула справедлива для абсолютно любых позиционных систем счисления, только в каждой системе счисления вместо 10 подставляется своё основание.

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

5. Двоичная система счисления

Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 4+0+1 = 5₁₀.

Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?

Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто.

Но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

Пример для числа 101.11₂ в двоичной системе счисления:

Цифра двоичной системы - бит. Восемь цифр - байт.

Число 101.11₂ в двоичной системе счисления означает одну четвёрку, одну единицу, одну половинку и одну четвертинку. Если сложить, получится всего 5.75₁₀.

6. Восьмеричная система счисления

8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8ⁿ, где n — это номер разряда. Получается, что 254₈ = 2*8² + 5*8¹ + 4*8⁰ = 128+40+4 = 172₁₀.

Например, в восьмеричной системе счисления число 327.4₈ - означает

3 *8² +2*8¹+7*8⁰ +4/8=219.5₁₀

7. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например, при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет.

Шестнадцатеричная система счисления содержит 16 цифр - это цифры от 0 до 9 (соответствуют десятичным цифрам) и буквы от A до F, соответствие которых десятичным эквивалентам можно запомнить, а можно каждый раз в уме подсчитывать (10₁₀ - это А₁₆, 11₁₀ - это B₁₆, 12₁₀ - это C₁₆, 13₁₀ - это D₁₆, 14₁₀ - это E₁₆, а 15₁₀ - это F₁₆).

В качестве примера возьмем число 4F5₁₆ = 4*16² +15*16¹+5*16⁰ =1269₁₆

Все остальные правила, по которым представляются числа в разных позиционных системах счисления - абсолютно одинаковые. Меняется только количество используемых цифр, всё остальное - точно так же, как во всем привычной десятичной системе счисления.