Лекция

Тема: «Перевод чисел десятичной системы счисления в другие»

План

1. Перевод чисел десятичной системы счисления в другие

1.1. Перевод целой части

1.2. Перевод дробной части

1.3. Перевод числа с целой и дробной частью

2. Перевод из двоичной системы в восьмеричную

3. Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

4. Перевод из восьмеричной системы в двоичную

5. Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

6. Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Вспомним таблицу степеней чисел 2, 8, 16:

Степени числа 16	Степени числа 8	Степени числа 2
16^1 = 16	8^1 = 8	2^1 = 2
16^2 = 256	8^2 = 64	2^2 = 4
16^3 = 4096	8^3 = 512	2^3 = 8
16^4 = 65536	8^4 = 4096	2^4 = 16
16^5 = 1048576	8^5 = 32768	2^5 = 32
		2^6 = 64
		2^7 = 128
		2^8 = 256
		2^9 = 512
		2^10 = 1024

Любое число в степени 0 равно 1

а⁰=1

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС

Из десятичной системы счисления:

• разделить число на основание переводимой системы счисления;
• найти остаток от деления целой части числа;
• записать все остатки от деления в обратном порядке;

1. Перевод чисел десятичной системы счисления в другие

1.1. Перевод целой части

Правило 1. Для того, чтобы перевести число из десятичной системы счисления, в любую другую, нужно выполнять целочисленное деление исходного числа на основание той системы счисления, в которую нужно перевести число. При этом важен остаток от деления и частное. Частное нужно делить на основание до тех пор, пока частное станет меньше основания. После этого все остатки нужно выписать в обратном порядке - это и будет число в новой системе счисления.

Например, перевод - числа 25 из десятичной системы счисления в двоичную будет выглядеть следующим образом:

Выписав остатки в обратном порядке, получим 25₁₀=11001₂.

Перевод из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления производится по абсолютно точно таким же правилам. Вот пример перевода 393₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

Выписав остатки в обратном порядке, получим 393₁₀=189₁₆.

Нужно понимать, что остатки получаются в десятичной системе счисления. При делении на 16 могут появиться остатки не только от 0 до 9, но также и остатки от 10 до 15. Каждый остаток - это всегда ровно одна цифра в той системе счисления, в которую осуществляется перевод.

Например, если при переводе в шестнадцатеричную систему счисления Вы получили такие остатки (выписаны в порядке, как они должны быть записаны в числе): 10, 3, 15, 7, то в шестнадцатеричной системе счисления этой последовательности остатков будет соответствовать число A3F7₁₆ (некоторые по ошибке записывают число как 103157₁₆ - понято же, что это совсем другое число, и что если так делать, то получится, что ни в каком шестнадцатеричном числе не появится цифры от A до F).

Примеры

178₁₀ = 10110010₂ 63₁₀ = 00111111₂ 8₁₀ = 00001000₂

209₁₀ =11010001₂ 25₁₀ = 00011001₂ 241₁₀ = 11110001₂.

567₈ = 375₁₀ 486₁₀ = 746₈ 98₁₀ = 142₈

495₁₀ = 1EF₁₆ 4D86B₁₆ = 317547₁₀ 512₁₆ = 1298₁₀ A5₁₆ = 165₁₀

1.2. Перевод дробной части

Правило 2. При переводе дробной части, в отличие от перевода целой части – нужно не делить, а умножать на основание той системы счисления, в которую мы переводим. При этом каждый раз отбрасываются целые части, а дробные части – снова умножаются. Собрав целые части в том порядке, как они были получены – получается дробная часть числа в нужной системе счисления.

Одна операция умножения даёт ровно один дополнительный знак в системе счисления, в которую осуществляется перевод.

При этом существует два условия завершения процесса:

1) в результате очередного умножения Вы получили ноль в дробной части. Понятно, что дальше этот ноль сколько ни умножай – он всё равно останется нулём. Это означает, что число перевелось из десятичной системы счисления в нужную точно.

2) не все числа возможно перевести точно. В таком случае обычно переводят с некоторой точностью. При этом сначала определяют, сколько знаков после запятой будет нужно – именно такое количество раз и нужно будет выполнить операцию умножения.

Вот пример перевода числа 0.39₁₀ в двоичную систему счисления. Точность – 8 разрядов (в данном случае точность перевода выбрана произвольно):

Если выписать целые части в прямом порядке, то получим 0.39₁₀=0.01100011₂.

Самый первый ноль (на рисунке перечёркнут синим) выписывать не нужно - так как он относится не к дробной части, а к целой. Некоторые по ошибке записывают этот ноль после запятой, когда выписывают результат.

Вот так будет выглядеть перевод числа 0.39₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. Точность - 8 разрядов в данном случае точность снова выбрана произвольно:

Если выписать целые части в прямом порядке, то получим 0.39₁₀=0.63D700A3₁₆.

При этом Вы, наверное, заметили, что целые части при умножении получаются в десятичной системе счисления. Эти целые части, полученные при переводе дробной части числа следует интерпретировать точно так же, как и остатки при переводе целой части числа. То есть, если при переводе в шестнадцатеричную систему счисления целые части получились в таком порядке: 2, 13, 8, 10, то соответствующее число будет равно 0.2D8A₁₆ (а не 0.213810₁₆).

0,8125₁₀ = 0,1101₂ 0,75₁₀=0,11₂ 0,5625₁₀ = 0,1001₂

0,52₁₀ = 0,41217₈ (5 разрядов) 0,0125₁₀=0,00631₈ 0,6025₁₀ = 0,464365₈ (6 разр)

0,0125₁₀ = 0,006666₁₆ (8 разрядов) 0,28₁₀=0,47AE1₁₆ (5 разр) 0,515₁₀ = 0,83D70A₁₆ (8 разр)

1.3. Перевод числа с целой и дробной частью

Правило 3. Чтобы выполнить перевод числа с целой и дробной частью, нужно отдельно перевести целую часть, а отдельно – дробную, и поэтом эти две части записать вместе.

Например, 25.39₁₀=11001.01100011₂

124,25₁₀ = 174,2₈ 124,25₁₀ = 7C,26₁₆

2. Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Правило 4. Для перевода в восьмеричную систему нужно разбить двоичное число на группы по 3 цифры (триады) справа налево. В последней (самой левой) группе вместо недостающих цифр поставить слева нули.

Способ 1:

Для каждой полученной группы произвести умножение каждого разряда на 2ⁿ, где n - номер разряда.

1101₂ = (001) (101) = (0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) (1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) = (0+0+1) (4+0+1) = (1) (5) = 15₈

Способ 2:

Заменить триады на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

Триада	000	001	010	011	100	101	110	111
Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7

10 111 010₂ = (010) (111) (010) = 272₈

111 100 110₂ = 111 100 110 = 746₈

11 000 111 011₂ = (011) (000) (111) (011) = 3073₈

1 101 011,001 01₂ = (001) (101) (011),(001)(010) = 153,12₈

11 100 111,11₂ = (011) (100) (111),(110) = 347,6₈

3. Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Правило 5. Разбиваем число на группы по 4 цифры (тетрады) справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости нулями.

Способ 1:

Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2ⁿ, где n - номер разряда, и сложим результаты.

1 1010₂ = (0001) (1010) = (0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) (1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰) = (0+0+0+1) (8+0+2+0) = (1) (10) = 1A₁₆

Способ 2:

Заменим тетрады на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Тетрада	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

1 0111 1100₂ = (0001) (0111) (1100) = 17C₁₆

1 1110 0110₂ = (0001) (1110) (0110) = 1E61₆

110 0011 1011₂ = (0110) (0011) (1011) = 63B₁₆

0100 1010 1100 0011 0101₂ = 4АС35₁₆

011 1111₂ = (0011) (1111) = 3F₆

4. Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Способ 1:

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Возьмем число 43₈.

Делим последовательно 4 на 2 и получаем остатки 0,0,1. Записываем их в обратном порядке. Получаем 100. Делим последовательно 3 на 2 и получаем остатки 1,1. Записываем их в обратном порядке и дополняем ведущими нулями до трех разрядов. Получаем 011. Записываем вместе и получаем 100 011₂

Способ 2:

Используем таблицу триад:

Триада	000	001	010	011	100	101	110	111
Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7

Правило 6. Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

351₈ = (011) (101) (001) = 011101001₂ = 11101001₂

5. Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Способ 1:

Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.

Способ 2:

Используем таблицу тетрад:

Тетрада	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Правило 7. Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

D8₁₆ = (1101) (1000) = 11011000₂

2AC0F74₁₆ = 0010 1010 1100 0000 1111 0111 0100 = 10101011000000111101110100₂

6. Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число.

Правило 8. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Выполните самостоятельно задания:

1. Запишите число в развернутой форме: 1110,001₂.

2. Выполните перевод чисел из одной системы счисления в другую:

1. 437,45₁₀ – в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления с точностью до четырех знаков после запятой;

2. 10101111011₂ – в восьмеричную, десятичную, шестнадцатеричную системы счисления;

3. 617,4₈ – в двоичную, десятичную системы счисления;

4. АС5₁₆ – в двоичную, восьмеричную, десятичную системы счисления.

1. Запишите число в развернутой форме: 10110,011₂.

2. Выполните перевод чисел из одной системы счисления в другую:

1. 830,86₁₀ – в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления с точностью до пяти знаков после запятой;

2. 1100111010₂ – в восьмеричную, десятичную, шестнадцатеричную системы счисления;

3. 615,3₈ – в двоичную, десятичную системы счисления;

4. 82В₁₆ – в двоичную, восьмеричную, десятичную системы счисления.